斯霍滕定理的证明通常涉及对向量场的散度运用格林公式，再结合对某一单元立方体的积分逐步推导得到。具体来说，可以通过以下步骤进行证明：

格林公式：

格林公式将平面区域上的二重积分转化为沿该区域边界曲线的曲线积分。对于向量场 $\mathbf{F} = （P, Q, R）$，格林公式为：

$$

\oint_C (P \cos \theta + Q \sin \theta + R) \, ds = \iint_D \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \, dA + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \, dA + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA

$$

其中 $C$ 是闭合曲线，$D$ 是由 $C$ 所围成的区域。

旋度：

向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$ 定义为：

$$

abla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}

$$

应用格林公式：

将旋度代入格林公式，得到：

$$

\oint_C (P \cos \theta + Q \sin \theta + R) \, ds = \iint_D

abla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dA

$$

其中 $\mathbf{n}$ 是曲面的单位法向量。

边界条件：

考虑曲面 $S$ 及其边界曲线 $partial S$，应用格林公式可以得到：

$$

\int_S (

abla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_{partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}

$$

通过上述步骤，斯霍滕定理得以证明。这个定理在向量微积分中非常重要，它将曲面的积分转化为曲线的积分，从而简化了许多计算问题。