关于“家家户户不关门的成语”，综合搜索结果分析如下：

一、正确成语

夜不闭户是准确表达“家家户户不关门”含义的成语，出自《礼记·礼运》，原指古代社会治安良好，人民安居乐业的状态。

二、其他相关成语

路不拾遗

指东西掉在路上无人捡走，形容社会风气淳朴，常与“夜不闭户”连用。

门不夜关

形容治安极好，与“夜不闭户”意思相近，但更强调门户始终关闭的状态。

国泰民安

国家太平，人民安乐，虽未直接提及“不关门”，但可引申为社会安定到无需闭户的程度。

三、错误表述说明

“什么不闭户”：

并非成语，可能是对“夜不闭户”的误写或混淆。

其他错误写法：如“闭而不兴”（出自《礼记》但与成语无关）等。

四、使用建议

语境选择：夜不闭户更侧重描述治安状态，路不拾遗侧重道德风尚，需根据具体语境选择。

结构特点：该成语为偏正式结构，可作主语、谓语、宾语等，含褒义。

综上，正确答案为 夜不闭户，其他相关成语可根据具体语境灵活运用。