“不成器的器”中的“器”字，其部首是“口”字旁。这是因为“器”字的本义与容器、器皿有关，而“口”字作为偏旁在汉字中通常表示与容器、器皿相关的含义。

具体来说，“器”字的结构是会意字，从犬，表示狗看守器物，其本义为“犬吠声”。后来，“器”字的本义消失，被假借为陶器、器皿等含义。因此，“器”字作为部首时，仍然保留了其原始的含义，即与容器、器皿相关。

所以，“不成器的器”中的“器”字有“口”字旁，是因为“器”字的本义与容器、器皿有关，而“口”字作为偏旁在汉字中通常表示与容器、器皿相关的含义。